[algorithm] 그래프의 개념과 정의, 탐색 방법

그래프(Graph)의 개념

단순히 노드(N, node)와 그 노드를 연결하는 간선(E, edge)을 하나로 모아 놓은 자료 구조

즉, 연결되어 있는 객체 간의 관계를 표현할 수 있는 자료구조다.
(예) 지도, 지하철 노선도의 최단 경로, 도로, 선수 과목 등

그래프는 여러 개의 고립된 부분 그래프(Isolated Subgraphs)로 구성될 수 있다.

그래프와 관련된 용어

용어	설명
정점(vertext)	위치라는 개념. (node라고 부름)
간선(edge)	위치 간의 관계. 즉, 노드를 연결하는 선(link, branch라고 부름)
인접 정점(adjacent vertex)	간선에 의해 직접 연결된 정점
정점의 차수(degree)	무방향 그래프에서 하나의 정점에 인접한 정점의 수 무방향 그래프에 존재하는 정점의 모든 차수의 합 = 그래프의 간선의 수의 2배
진입 차수(in-degree)	방향 그래프에서 외부에서 오는 간선의 수 (내차수라고도 부름)
진출 차수(out-degree)	방향 그래프에서 외부로 향하는 간선의 수 (외차수라고도 부름) 방향 그래프에 있는 정점의 진입 차수 또는 진출 차수의 합 = 방향 그래프의 간선의 수(내차수 + 외차수)
경로 길이(path length)	경로를 구성하는데 사용된 간선의 수
단순 경로(simple path)	경로 중에서 반복되는 정점이 없는 경우
사이클(cycle)	단순 경로의 시작 정점과 종료 정점이 동일한 경우

그래프의 특징

• 그래프는 네트워크 모델이다.
• 2개 이상의 경로가 가능하다.
  • 즉, 노드들 사이에 무방향/방향에서 양방향 경로를 가질 수 있다.
• self-loop 뿐 아니라 loop/circuit 모두 가능하다.
• 루트 노드라는 개념이 없다. 부모-자식 관계라는 개념도 없다.
• 순회는 DFS나 BFS로 이루어진다.
• 그래프는 순환(Cyclic) 또는 비순환(Acyclic)dlek.
• 그래프는 크게 방향 그래프와 무방향 그래프가 있다.
• 간선의 유무는 그래프에 따라 다르다.

 

그래프의 종류

무방향 그래프 vs 방향 그래프

1. 무방향 그래프 (Undirected Graph)

• 무방향 그래프의 간선은 간선을 통해서 양방향으로 갈 수 있다.
• 정점 A와 정점 B를 연결하는 간선은 (A, B)와 같이 정점의 쌍으로 표현한다.
  • (A, B)는 (B, A)와 동일
• EX) 양방향 통행 도로

2. 방향 그래프 (Directed Graph)

• 간선에 방향성이 존재하는 그래프
• A->B로만 갈 수 있는 간선은 <A, B>로 표시한다.
  • <A, B>와 <B, A>는 다르다.
• EX) 일방 통행

가중치 그래프(Weighted Graph)

• 간선에 비용이나 가중치가 할당된 그래프
• 네트워크(network)라고도 한다.
  • ex) 도시-도시의 연결, 도로의 길이, 회로 소자의 용량, 통신망의 사용료 등

연결 그래프 vs 비연결 그래프

1. 연결 그래프 (Connected Graph)

• 무방향 그래프에 있는 모든 정점 쌍에 대해서 항상 경로가 존재하는 경우
• EX) 트리 (Tree) : 사이클을 가지지 않는 연결 그래프

2. 비연결 그래프 (Disconnected Graph)

• 무뱡향 그래프에서 특정 정점쌍 사이에 경로가 존재하지 않는 경우

사이클 vs 비순환 그래프

1. 사이클 (Cycle)

• 단순 경로의 시작 정점과 종료 정점이 동일한 경우
• 단순 경로 (Simple Path) : 경로 중에서 반복되는 정점이 없는 경우

2. 비순환 그래프 (Acyclic Graph)

• 사이클이 없는 그래프

완전 그래프 (Complete Graph)

• 그래프에 속해있는 모든 정점이 서로 연결되어 있는 그래프
• 무방향 완전 그래프
  • 정점수 : n이면 간선의 수 : n*(n-1)/2

 

그래프의 구현 2가지

1. 인접 리스트 (Adjacency List)

인접 리스트(Adjacency List)로 그래프를 표현하는 것이 가장 일반적인 방법이다.

• 모든 정점(혹은 노드)을 인접 리스트에 저장한다. 즉, 각각의 정점에 인접한 정점들을 리스트로 표시한 것이다.
  • 배열(혹은 해시테이블)과 배열의 각 인덱스마다 존재하는 또다른 리스트(배열, 동적 가변 크기 배열(ArrayList), 연결리스트(Linked List)등)를 이용해서 인접 리스트를 표현

    0: 1
    1: 2
    2: 0, 3
    3: 2
    4: 6
    5: 4
    6: 5

  • 정점의 번호만 알면 이 번호를 배열의 인덱스로 하여 각 정점의 리스트에 쉽게 접근할 수 있다.
• 무방향 그래프(undirected graph)에서 (a,b)간선은 두번 저장된다.
  • 정점의 수 : N, 간선의 수 : E 인 무방향 그래프의 경우 N개의 리스트, N개의 배열, 2E개의 노드가 필요
• 트리에선 특정 노드 하나(루트 노드)에서 다른 노드로 접근이 가능 -> Tree 클래스가 불필요 But 그래프에선 특정 노드에서 다른 모든 노드로 접근이 가능하지 않은 -> Graph 클래스가 필요함!

  class Node{
    public String name;
    public Node[] children;
  }
  class Graph{public Node[] nodes;}

2. 인접 행렬 (Adjacency Matrix)

인접 행렬은 NxN 불린 행렬 (Boolean Matrix)로써 matrix[i][j]가 true라면 i->j로의 간선이 있다는 뜻이다.

• 0과 1을 이용한 정수 행렬(Integer Matrix)을 사용할수도 있다.

  if(간선 (i, j)가 그래프에 존재)
    matrix[i][j] = 1;
  else
    matrix[i][j] = 0;

• 정점(노드)의 개수가 N인 그래프를 인접 행렬로 표현
  • 간선의 수와 무관하게 항상 n^2개의 메모리 공간이 필요하다.
• 무방향 그래프를 인접 행렬로 표현한다면 이 행렬은 대칭 행렬이 된다.
• 인접 리스트를 사용한 그래프 알고리즘들(ex. 너비 우선 탐색) 또한 인접 행렬에서도 사용이 가능하다.
  • 하지만.. 인접 행렬은 효율성이 조금 떨어진다.
  • 인접 리스트는 어떤 노드에 인접한 노드를 쉽게 찾을 수 있지만 인접 행렬에서는 인접한 노드를 찾기 위해서는 모든 노드를 전부 순회해야 한다.

인접 리스트와 인접 행렬 중 선택 방법..?

• 인접 리스트
  • 그래프 내에 적은 숫자만을 가지는 희소 그래프(Sparse Graph)의 경우
  • 장점
    • 어떤 노드에 인접한 노드들을 쉽게 찾을 수 있다.
    • 그래프에 존재하는 모든 간선의 수는 O(N+E)안에 찾을 수 있다.
  • 단점
    • 간선의 존재 여부와 정점의 차수 : 정점 i의 리스트에 있는 노드의 수, 즉 정점 차수만큼의 시간이 필요하다.
• 인접 행렬
  • 그래프에 간선이 많이 존재하는 밀집 그래프(Dense Graph)의 경우
  • 장점
    • 두 정점을 연결하는 간선의 존재 여부 (M[i][j])를 O(1)안에 즉시 알 수 있다.
    • 정점의 차수는 O(N)안에 알 수 있다. -> 인접 행렬의 i번째 행 또는 열을 모두 더한다.
  • 단점
    • 어떤 노드에 인접한 노드들을 찾기 위해서는 모든 노드를 전부 순회해야한다.
    • 그래프에 존재하는 모든 간선의 수는 O(N^2) 안에 알 수 있다.

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그래프의 탐색

1. 깊이 우선 탐색 (DFS, Depth-First Search)

루트 노드(혹은 다른 임의의 노드)에서 시작해서 다음 분기(branch)로 넘어가기 전에 해당 분기를 완벽하게 탐색하는 방법

즉, 깊게(deep) 탐색하는 것이다!
사용하는 경우 : 모든 노드를 방문하고자 하는 경우에 이 방법을 선택한다.
(깊이 우선 탐색이 너비 우선 탐색보다 조금 더 간단하다.)

2. 너비 우선 탐색 (BFS, Breadth-First Search)

루트 노드(혹은 다른 임의의 노드)에서 시작해서 인접한 노드를 먼저 탐색하는 방법

즉, 넓게(wide) 탐색하는 것!!
사용하는 경우 : 두 노드 사이의 최단 경로 혹은 임의의 경로를 찾고싶을 때 이 방법을 선택한다.

Reference

• https://gmlwjd9405.github.io/2018/08/13/data-structure-graph.html